packageX.md

packageX

根据package-X的约定，圈积分的表达式不需要带上$1/(2\pi)^4$.

费米子代数

FermionLineExpand

FermionLineExpand

除了使用狄拉克代数, FermionLineExpand还会使用旋量的运动方程 $$\gamma\cdot p u(p)=m u(p), \quad \gamma\cdot v u(p)= -m v(p) $$ 将狄拉克矩阵的乘积展开为标准的 SVTAP 形式: $$\gamma^{\mu 1} \gamma^{\mu 2} \gamma^{\mu 3}\cdots = A^{\mu 1 \mu 2 \mu 3 \cdots} 1+(B^{\mu 1 \mu 2 \mu 3 \cdots})\nu \gamma^\nu + (C^{\mu 1 \mu 2 \mu 3 \cdots}){\nu\rho} \sigma^{\nu\rho} +\ (D^{\mu 1 \mu 2 \mu 3 \cdots})_{\nu} \gamma^{\nu} \gamma_5+ E^{\mu 1 \mu 2 \mu 3 \cdots}\gamma_5 $$

如果可能的话，还会使用高登Gordon恒等式, $$\bar u(p^\prime)(p^\prime+p)^\mu u(p)=2m;\bar{u}(p^\prime) \gamma^\mu u(p) - i \bar{u}(p^\prime) \sigma^{\mu\nu} (p^\prime-p)_\nu u(p) $$

这些操作都是LoopIntegrate 自动进行的，如果分子里存在FermionLine.

圈积分

LoopIntegrate

• 给LoopIntegrate提供分子的列表，能获得对应圈积分的列表
• LoopRefine能自动线性作用于列表.

如果外线动量不是线性独立的(例如，零转移动量时的形状因子), 分子分母中的公共因子不会自动消除. 输出会与Cancel->False情形的结果相同.

int1 = LoopIntegrate[k.k k.p, k, {k, m}, {k, 0}, {k + p, 0}, Cancel -> True]

设置选项Apart->True将分母用 部分 分式展开, 以使得分母上的因子能够和标量积相消:

int2 = LoopIntegrate[k.k k.p, k, {k, m}, {k, 0}, {k + p, 0},  Cancel -> True, Apart -> True]