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量子力学 科恩 第一卷 (下) |
别来春半, 触目愁肠断. 砌下落梅如雪乱, 拂了一身还满. |
2022-10-31 |
- 我们将会看到, 一个顺磁性中性原子的角动量 (或磁矩) 沿
$$ O_z $$
方向的分量只能取某一离散集合中的若干个数值.
- 例如, 就一个基态的银原子而言, 其角动量的分量 $$ S_z $$ 只有两个可能值 ($$ + \frac{\hbar}{2} $$ 和 $$ - \frac{\hbar}{2} $$).
- 因此, 我们说一个基态银原子是自旋为 $$ \frac{1}{2} $$ 的粒子.
- 自旋态空间
$$ \mathcal{E}_S $$
中的最一般的 (归一化的) 右矢, 是
$$ \mid + \rangle $$
和
$$ \mid - \rangle $$
的某种线性叠加:
- $$ \mid ψ \rangle = α \mid + \rangle + β \mid - \rangle $$
- 其中 $$ α $$ 与 $$ β $$ 应满足下列关系式:
- $$ |α|^2 + |β|^2 = 1 $$
- 在基
$$ { \mid + \rangle, \mid - \rangle } $$
中, 表示可观察量
$$ S_z $$
的矩阵显然是对角的, 可将它写作:
- $$ (S_z) = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} $$
- 观察算符 $$ S_x $$ 和 $$ S_y $$ 分别与 $$ \mathcal{L} $$ 的分量 $$ \mathcal{L}_x $$ 和 $$ \mathcal{L}_y $$ 相联系. 在基 $$ { \mid + \rangle, \mid - \rangle } $$ 中, 算符 $$ S_x $$ 和 $$ S_y $$ 应该用 $$ 2 \times 2 $$ 的厄米矩阵来表示.
$$ \mathcal{L} $$ 貌似并不是原书采用的符号, 但我也没找到相似的~
-
到
量子力学中角动量的普遍性质一章我们将会看到, 在量子力学中, 一个角动量的三个分量并不互相对易, 而是满足完全确定的对易关系式. 根据这一点, 我们可以证明, 在目前所研究的自旋 $$ \frac{1}{2} $$ 的情况下, 在 $$ S_z $$ 的本征矢 $$ \mid + \rangle $$ 和 $$ \mid - \rangle $$ 所构成的基中, $$ S_x $$ 和 $$ S_y $$ 的矩阵是:- $$ (S_x) = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
- $$ (S_y) = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \ i & 0 \end{pmatrix} $$
-
算符 $$ S_x
$$, $$ S_y $$ 和 $$ S_u $$ 的本征值都与 $$ S_z $$ 的相同, 即 $$ + \frac{\hbar}{2}$$, $$ - \frac{\hbar}{2} $$. 从物理上看, 这个结果是可以预期的; 由于空间的一切方向的性质都相同.